Существенно только то, что понятно.
А.Усов
1. Парадокс Зенона
Один из парадоксов Зенона состоит, как известно, в следующем: Ахиллес не может догнать черепаху, потому, что за время, пока Ахиллес достигает черепахи, последняя успевает сместиться на некоторое расстояние вперед; пока Ахиллес преодолевает и это расстояние, черепаха перемещается еще на какое-то расстояние и т.д. до бесконечности. Таким образом, сколь бы стремительно Ахиллес не бежал, черепаха всегда ползет впереди него.
2. Наш ответ Зенону
Парадокс Зенона – несомненно, софизм, однако, особый, первоклассный софизм. Это вам не словоблудие какого ни будь адвоката, способное поразить лишь поверхностным остроумием и изворотливостью. Зенон проникает в самую суть рассудка и вовлекает его в конфликт с самим собой - именно тем, что предоставляет ему действовать в полном согласии с собой.
На первый взгляд все дело, по видимому, в том, что любую конечную величину можно делить до бесконечности – в этой бесконечности и «вязнет» несчастный Ахиллес. И мы как будто сразу же можем указать другую бесконечность, которая позволяет Ахиллесу преодолеть бесконечность пространства: ведь делить можно не только расстояние, но и время, поэтому, чтоб преодолеть «бесконечное» расстояние между собой и черепахой, у Ахиллеса в запасе имеется «бесконечный» промежуток времени. Можно поэтому каждому бесконечно малому расстоянию поставить в соответствие бесконечно малое время, за которое оно «как бы» преодолевается, и на этом успокоиться. – В этом именно духе рассуждает Аристотель в «Физике», но несмотря на весь его авторитет, решение как то не склеивается и не убеждает. Не понятно каким образом все-таки бесконечность как пространства, так и времени преодолевается, исчерпывается. Предложенным только что «решением» (как и другими, ему подобными) мы пытаемся, так сказать, залепить одну бесконечность другой и тем самым уйти, отмахнуться от проблемы. – Как раз это поползновение Зенон своей логикой с самого начала пресекает. Он выстраивает свои рассуждения таким образом, что ВЫНУЖДАЕТ нас СЧИТАТЬ бесконечность и этим загоняет в тупик, поскольку сразу становится ясным, что бесконечность не может быть сосчитана. С другой стороны, и уклониться от этого счета невозможно.
В самом деле, для того, чтоб преодолеть расстояние между Ахиллесом и черепахой требуется некоторое время t. – Кто может возразить против этого? Но за это время t черепаха переместится на расстояние S. – И с этим невозможно спорить. Но что бы преодолеть это расстояние, Ахиллесу понадобится еще какое то время t1, за которое черепаха опять таки успеет переместиться на расстояние S1 и т.д. и т.п. – Где, на каком шаге мы можем, ИМЕЕМ ПРАВО, прервать этот счет? Как можно «вынырнуть» из этой бесконечности и преодолеть таки расстояние между Ахиллесом и черепахой?
Однако порок, вернее, природа софизма состоит в том, что его принцип всегда может быть обращен против него самого. Это и следует проделать прежде всего.
Как мы обычно рассуждаем? Некоторое расстояние S преодолевается за время t, т.е. S становится =0. Этого шага и не позволяет нам сделать Зенон, вынуждая нас мысленно делить это S на все более мелкие части, не=0 и, таким образом, 0 оказывается недостижимым. Расстояние между Ахиллесом и черепахой постоянно существует, вернее, воспроизводится, и воспроизводится потому, что бесконечно малое Зенон превращает в конечное, которое затем опять делит и т.д. «до бесконечности». То есть вместо того, чтоб «превратить» постоянно сокращающееся S, наконец, в 0, Зенон как будто сам этот 0 «превращает» на наших глазах в нечто отличное от ноля, конечное S, - подобно тому, как фокусник извлекает зайца из вроде бы пустой шляпы. Мы не понимаем, как ему это удается, да и он сам, в отличие от настоящего фокусника, этого не понимает, я полагаю; но если уж заяц каким то образом появился на свет божий, то мы, как минимум, можем потребовать каким-то «таким же» образом «засунуть» его обратно в шляпу, причем последняя в результате этой операции «обязана» вновь оказаться пустой.
А именно. Если конечное можно ДЕЛИТЬ «до бесконечности», как это делает Зенон, то тогда получающиеся в результате этого деления бесконечно малые части можно и СКЛАДЫВАТЬ «до бесконечности» и таким образом вновь получить конечную величину. В том и другом случае, мы бесконечное «превращаем» в конечное (либо наоборот), и если это возможно в первом случае, то так же возможно и в последнем. То есть, если можно конечное рассматривать как бесконечное, и потому непреодолимое, то можно бесконечное рассматривать как конечное, а значит преодолимое. В конце концов, это одно и то же: если Зенон говорит: S «равна» «сумме» или «состоит из» (скажите как хотите) бесконечного множества бесконечно малых dS, то в таком случае я утверждаю, что бесконечная «сумма» бесконечно малых dS «равна» S (или бесконечно малые dS «составляют» S). Зенон превращает конечное в бесконечное, я произвожу обратную операцию и свожу бесконечное к конечному и таким образом вновь получаю конечное расстояние S, которое преодолевается Ахиллесом за конечный промежуток времени, т.е. последний догоняет таки черепаху.
Правда, я не могу объяснить каким таким образом я складываю бесконечно малые и получаю конечную величину, но и Зенон может в этом отношении не больше. Сначала S у него сокращается, допустим, вдвое, затем, втрое и Т.Д. То есть никакой актуальной бесконечности НЕТ в его рассуждениях, его бесконечность есть вот это вот неопределенное «И Т.Д.» - о него то и «спотыкается» Ахиллес. То есть всем понятно, что Ахиллес легко преодолевает расстояние вдвое, втрое меньшее, чем S, а вот как он преодолевает пресловутое «и т.д.» - вот это как раз и непонятно. Но главное, непонятно каким образом конкретное, осязательное S Зенон превращает в это беспредельное и неисчерпаемое «и т.д.»; каким образом конечное может заключать в себе бесконечность? Но если Зенон, тем не менее, проделывает свой фокус, то тоже самое могу проделать и я, но - задом наперед. Зенон не может объяснить каким образом он производит первую операцию, а потому и от меня никто не должен требовать объяснений насчет второй. Нам обоим непонятно каким образом конечное и бесконечное у нас превращаются друг в друга, но если этот процесс возможен в прямом направлении то он возможен и в обратном.
Таким образом, если Зенон говорит, что Ахиллес не догонит черепаху, то я утверждаю: ДОГОНИТ. Однако вот что важно: Зенон сам характеризует свой вывод как парадокс, т.е. признает, что его понимание движения противоречит действительности. Мое же НЕПОНИМАНИЕ действительности находится с нею в полном согласии; т.е. я утверждаю то, что соответствует действительности, но она мне так же непонятна, как и Зенону.
Собственно, сказанного достаточно для «решения» задачи, ибо оказывается, что ее решение сводится просто к тому, чтоб проделать операцию обратную той, которую проделывает Зенон: если можно раздробить конечное на бесконечное множество частей, то можно и сложить эти части и бесконечность свести к конечной величине. То есть, если можно считать в прямом направлении, то можно считать и в обратном. Однако главное в этом решении остается непонятным; решение при ближайшем рассмотрении состоит просто в том, чтоб перевернуть мысль Зенона, однако, как в оригинальном своем виде, так и в перевернутом, она одинаково непостижима.
Поэтому уже и не важно догонит или нет Ахиллес черепаху; в конце концов может быть догонит, а может и нет (если ему что ни будь помешает). Важно, что ни тот, ни другой исход его состязания с черепахой мы объяснить не можем. Мы не понимаем сущности движения – вот что важно, и поэтому всякое наше утверждение имеет характер софизма: в одном случае мы фокуснически вместе с Зеноном можем растягивать конечное до бесконечности, и тогда Ахиллес как бы замирает в неподвижности, или можем «сжать» бесконечное до конечного и тем самым победа Ахиллеса над черепахой будет обеспечена. Оба софизма опираются на одно и то же основание – и вот это-то основание И ЕСТЬ действительная проблема, которая теперь состоит уж конечно не в том кто кого догонит или нет, а в том какова сущность конечного и бесконечного, как нам мыслить их взаимопереход, как вообще мыслить эти понятия? КАК МЫСЛИТЬ ДВИЖЕНИЕ?
3. Шаг вперед
Итак, первый шаг к решению проблемы состоит в том, чтоб парадоксу Зенона, гласящему, что Ахиллес не догонит черепаху, противопоставить противоположный ПАРАДОКС, состоящий в том, что Ахиллес черепаху ДОГОНИТ. Тем самым выявляется СУТЬ дела, состоящая в том, что в ЛЮБОМ случае мы НЕ ПОНИМАЕМ сущности движения и, соответственно, должны попытаться понять ее. Таким образом, задача СФОРМУЛИРОВАНА – таков итог наших предыдущих рассуждений – это не много, но и не мало. Следующий шаг состоит в том, чтоб максимально ее УПРОСТИТЬ.
Существует правило экономии мышления – пресловутая не то бритва, не то лезвие, не то Оккама, не то Бентама. В соответствии с этим правилом при решении любой проблемы не следует «плодить сущности», наоборот, следует стремиться к самому простому решению и обходиться минимумом средств. Отчасти в развитие, отчасти в противовес этому правилу я предлагаю свое правило Усова, которое состоит в том, что в указанных случаях следует обходиться ВОВСЕ БЕЗ СРЕДСТВ, в смысле: решение умозрительной задачи – в нашем случае мы имеем дело именно с такого рода задачей – должно содержаться в самой ее постановке. Поэтому, чтобы добраться до этого решения необходимо уяснить СМЫСЛ задачи, для чего необходимо освободить ее от всего излишнего, привходящего, случайного. Выяснить смысл, т.е. зафиксировать МЫСЛЬ, которая выражается или содержится в задаче – для этого как раз и необходимо отбросить, исключить все средства, т.е. все ПОСРЕДСТВУЮЩЕЕ, или опосредующее эту МЫСЛЬ и процесс мышления. Мысль должна НЕПОСРЕДСТВЕННО сосредоточиться на самой себе. Таким путем мы не то чтобы «сэкономим» мышление; только таким путем мышление может по-настоящему реализоваться, т.е. стать действительным мышлением и породить действительное решение.
Как раз в нашем случае правило Усова сразу же демонстрирует свою эффективность.
Прежде всего, прогресс в бесконечность, который нам навязывает Зенон, при ближайшем рассмотрении оказывается тавтологией, т.е. бесконечным повторением одного и того же. В самом деле, расстояние между Ахиллесом и черепахой непрерывно уменьшается, т.е. сначала это расстояние =S, затем S1, затем S2 и т.д., при чем S>S1>S2>… и т.д. Таким образом мы получаем некую видимость движения, - ВИДИМОСТЬ, т.к. никакое Sn никогда не становится = 0. Однако, если взглянуть внимательно, мы не имеем здесь даже и видимости. Действительно, S ничем не лучше и не хуже S1, S2 или любого другого Sn. Правда S больше, чем S1, S1 больше, чем S2, но только лишь их отношение друг к другу и существенно, их же абсолютные величины с самого начала не имели никакого значения. То есть важно лишь то, что предыдущее S больше последующего, поэтому любое S мы можем рассматривать как начало или как конец движения, поскольку всегда найдем другое (последующее или предыдущее) S, которое можно рассматривать как, соответственно, конец или начало того же движения. Мы поэтому можем начать «движение» не с S, а с S1 или S2, или Sn, так же как раньше начинали с S. Но это значит, что когда мы «заканчиваем» «движение» на S1, S2 или Sn, то это равносильно тому, как если бы мы его и не начинали.
С другой стороны, можем ли мы его ХОТЯ БЫ начать, т.е. как перейти от S к S1? Для того, чтоб от 5 (4+1) перейти к 4 необходимо, чтоб 1 (разность между 5 и 4) превратилась в 0. Сколь бы ни была малой разница между предыдущим и последующим S она должна превратиться в 0, - только таким образом мы перейдем от предыдущего S к последующему. Но эта разница, опять таки, есть некое расстояние, которое ничем не лучше и не хуже любого S, поэтому мы не имеем права приравнивать его, как и любое S, к 0. То есть на каждом шагу Ахиллеса преследует та же проблема, что и на всем протяжении пути до черепахи. Это значит, что он не только не может преодолеть соответствующее расстояние, он не может сделать и шагу, вообще не может сдвинуться с места.
Каждый раз у нас «торжествует», собственно одна «истина»: существует некое S – расстояние между некими двумя точками, отличное от 0 – вот собственно и все, только эту истину мы и «прокручиваем», т.е. непрерывно воспроизводим в процессе нашего «движения», в этом и состоит его СМЫСЛ. И если сформулировать этот смысл, то всю эту возню с S1, S2… Sn и т.д. можно отбросить как несущественное. А смысл таков: если S существует, то из этого следует только то, что оно… существует, во всяком случае никак не то, что оно НЕ существует (т.е. = 0) – известный закон тождества (А=А) в приложении к нашей задаче.
Вот это и есть проблема, на которую указывает нам Ахиллес своим бегом в бесконечность (вернее, топтанием на месте, как это только что выяснено). Из бытия пространственного отрезка S невозможно вывести его небытие; т.е. если S не = 0, то невозможно понять как оно может быть = 0, невозможно перейти от первого положения к последнему.
Оно конечно, и в обыденной жизни и во всякого рода математических, физических, технических и т.д. задачах мы сплошь и рядом говорим: такое то расстояние равно столько-то или столько-то, или = 0 и при этом как будто не испытываем никаких затруднений… И вот это-то и плохо, что мы не чувствуем затруднений, т.е. не замечаем проблемы. Это значит, что мы указанные операции проделываем совершенно произвольно, т.е. совершенно бессмысленно. Правда этому легкомыслию соответствует в действительности та легкость, с которой всевозможные реальные расстояния непрерывно сокращаются, увеличиваются, исчезают, возникают. Однако нет особой чести, чтобы практически доказать, что Ахиллес догоняет черепаху – никто в таких доказательствах и не нуждается – необходимо научиться мыслить движение. В этом отношении мы должны констатировать, что движение мы пока не мыслим, оно для нас остается немыслимым, ибо непонятно каким образом можно из бытия S перейти к его небытию. Для того, чтоб найти решение, необходимо, по видимому, мыслить S так, чтобы его небытие содержалось бы в его бытии. Между тем, по всем правилам формальной логики S либо есть, либо нет, третьего не дано…
Не дано тому, кто не способен взять. Раз уж мы только и делаем, что пытаемся приравнять к 0 то, что 0 не равно, то и надо узаконить эту операцию, просто ввести ее «по определению». Раз уж мы не можем избавиться от парадокса иначе, как посредством другого парадокса, то и не следует бояться такого шага: во всяком случае, мы ничего не теряем. А именно: существует некое dS, которое в то же время и не существует; оно есть нечто промежуточное между бытием и небытием, равно и не равно 0 одновременно. Оно бесконечно уменьшается, приближается к 0. И не просто приближается; мы всегда имеем право (вернее, узурпируем право) сказать, что оно равно 0. И это поистине чудо: в самом деле, если возникновение из ничего есть чудо, то и уничтожение, превращение в ничто есть не меньшее чудо. Но если это чудо мы допускаем в одном направлении, в смысле уничтожения и исчезновения, то «имеем право» и даже обязаны допустить его и в обратном, в смысле возникновения. То есть 0, о котором идет речь, НЕ РАВЕН НУЛЮ: он НЕ ПУСТ, он СОДЕРЖАТЕЛЕН, т.е. содержит в себе НЕЧТО и непрерывно превращается в нечто, возникает как нечто. Таким образом, речь идет о бесконечно малой величине, которая есть, с другой стороны, «бесконечно большой ноль».
Мы таким образом разрубаем гордиев узел: допустив, что dS, а значит и S, и ЕСТЬ и НЕ ЕСТЬ, нам уже легко понять как Ахиллес догоняет черепаху, т.е. представить, что в какой-то момент S становится = 0.
4. Шаг назад
С другой стороны, мы не столько разрубили узел, сколько едва ли не затянули его еще туже. В самом деле, мы лишь предположили то, что должны были доказать, вернее ПОНЯТЬ. Наши действия в сущности столь же произвольны, как и обыденные представления о том, как расстояния изменяются так и эдак, в частности, сокращаются до нуля. Но если все сводится к произволу, тогда и не нужно никаких бесконечно малых и прочих премудростей: не за чем, в самом деле, мудрить, если в конечном итоге все равно все остается непонятным. В конце концов, наши чудеса с бесконечно малой величиной и бесконечно большим нолем ничем не лучше парадоксов Зенона. В конце концов, мы и сделали лишь то, что перефразировали его начальный парадокс, - ничего более. Зенон говорит, что ему непонятно как S может И БЫТЬ, и НЕ БЫТЬ. Мы же утверждаем именно ЭТО, т.е. что S и есть и не есть и делаем вид, что нам это ПОНЯТНО. Так вот, не надо ДЕЛАТЬ ВИД; нам это не понятно, как и Зенону. Мы действительно разрубаем узел, в то время как суть задачи состояла именно в том, чтоб РАСПУТАТЬ его, а не разрубить.
5. Шаг вперед
А чтоб его распутать, необходимо доказать, что бытие и небытие одно и то же, т.е. что S одновременно равно и не равно 0. Мы не можем соединить эти две мысли – в этом и состоит вся трудность, - но не можем и разъединить их, и в этом - возможность решения.
По логике Зенона, S становится все меньше и меньше, не превращаясь в 0. Но как оно может становиться меньше? Как уже говорилось, величина может становиться меньше, если какая-то ее часть обращается в 0.
По смыслу задачи, как его формулирует сам Зенон, если S или какая либо его часть преодолеваются, то тем самым эта преодоленная часть «исчезает» становится равной 0 – как это происходит? – это и было непонятно, в этом и суть задачи. И вот оказывается, что Зенон, вынуждая Ахиллеса бежать в бесконечность, тем самым не только непрерывно ставит эту задачу, но и непрерывно РЕШАЕТ ее. Положим, что сначала S=S0+S1. Потом Ахиллес делает шаг и S уменьшается до S1, т.е. S0 становится =0. S1 в рассуждениях Зенона никогда не становится равным 0 нулю и тем самым задача непрерывно ставится. Но с другой стороны, каждым, все уменьшающимся шагом, Ахиллес преодолевает, т.е. ОБНУЛЯЕТ S0 и тем самым задача непрерывно решается.
В самом деле, если непрерывно обнуляется часть S, то почему нельзя обнулить любую другую часть? И наоборот, если мы все время предполагаем существующей некую часть S, то почему мы не можем предположить существующей и другую его часть? И, наконец, если бег Ахиллеса в интерпретации Зенона состоит в том, что S1 все время существует, а S0 все время исчезает, то почему мы не можем перевернуть это соотношение и рассматривать, S0 как существующее, а S1 как исчезающее? Разумеется можем и даже ничего не изменим этим переворотом. Проделаем же его и что получим? Получим то, что черепаха окажется за спиной Ахиллеса и расстояние между ними будет не сокращаться, а увеличиваться, т.е. Ахиллес уже догнал черепаху и удаляется от нее! Таким образом, за раздумьями над тем, как он догоняет черепаху, мы не заметили как он обогнал ее!
Но что же происходит с S0 и S1 в тот самый момент, когда Ахиллес настигает черепаху? Они становятся неразличимыми, ОДНИМ И ТЕМ ЖЕ. То есть S0, равное-неравное нулю, становится тождественным S1, неравному-равному нулю. То есть мы получаем «в чистом виде» dS, которое И ЕСТЬ и НЕ ЕСТЬ.
Итак, у Зенона присутствуют два положения: S = 0 и S не = 0. В силу первого Ахиллес бежит, перемещается в силу второго – не может настичь черепаху, вообще сдвинуться с места. Зенон жонглирует обоими положениями, поочередно пускает их в ход и тем самым вовлекает нас в бег на месте. При этом внимание все время акцентируется на втором положении, чем и достигается указанный «полезный эффект» (бег оказывается бегом на месте). Между тем, чтоб S непрерывно до бесконечности уменьшалось, и ТАКИМ СПОСОБОМ продолжало существовать, необходимо, чтоб некоторая его часть непрерывно обращалась в 0. То есть в то время как одна часть непрерывно существует, а лучше сказать, возникает, другая часть непрерывно исчезает. Первая и есть наш бесконечно большой ноль, вторая – бесконечно малая величина. Зенон делает упор, искусно акцентирует внимание на первом и потому между Ахиллесом и черепахой всегда существует расстояние не = 0. Между тем достаточно выйти из под его гипноза и перевернуть его логику, РОВНО НИЧЕГО В НЕЙ НЕ МЕНЯЯ, и мы обнаружим что Ахиллес УЖЕ обогнал черепаху, и мы можем заключить классической фразой: «что и требовалось доказать», и наш античный герой, таким образом, реабилитирует себя в глазах философии (или скорее наоборот, философия реабилитирована в его глазах).
Итак, мы сделали еще один шаг вперед и выяснили, что наши «чудесные» понятия не просто перефразировка зеноновского парадокса, они ТОЖДЕСТВЕННЫ ему; Зенон фактически оперирует этими же самыми понятиями. Соответственно, если мы отказываемся от возни с S1, S2, Sn и все сводим к некоему S, которое отлично от нуля, не равно 0, т.е. СУЩЕСТВУЕТ, то мы столь же симметрично должны установить и другое положение, содержащееся в логике Зенона – то, что ЭТО ЖЕ САМОЕ S = 0, т.е. НЕ СУЩЕСТВУЕТ. Таким образом, парадокс прямо и непосредственно является собственным решением.
5. Вперед к Гегелю. (Абсолютная истина)
Но если парадокс, как мы сказали, непосредственно является собственным решением, то значит, это решение парадоксально. В самом деле, мы «поймали» Зенона на том, что он неявно оперирует положением (S=0), справедливость которого явно отрицает. Тем самым мы показали, что наше предположение о том, что положения S=0 и S не = 0 справедливы одновременно, не является произвольным, наоборот, оно содержится в парадоксе Зенона, какую бы форму мы ему не придавали. Зенон «доказывает» нам, что S все время существует, но само его «доказательство» основано на том, что S все время обращается в 0, т.е. не существует. До сих пор мы внешним образом противопоставляли и сближали два парадокса, теперь мы выяснили, что это один и тот же парадокс. Прежде мы произвольно предположили что S равно и не равно нулю, теперь же мы выяснили что это не предположение, но ВЫВОД, от которого никуда не деться, прежде всего, Зенону. Следовательно, все проделанные выше шаги (на месте!) не были напрасны, мы освободились от произвола, мы пришли к тому, что указанное предположение необходимо. Однако этот же промежуточный результат указывает насколько мы еще далеки до конечной цели. В самом деле, упомянутое положение мы оказываемся ВЫНУЖДЕНЫ принять, оно для нас ВНЕШНЯЯ необходимость, внешняя, следовательно, НЕПОНЯТАЯ. Решение по прежнему остается ПАРАДОКСОМ, а это и значит, что главная наша задача до сих пор не решена. До сих пор прогресс состоял в том, что мы освободились от произвола понятий, постигли их необходимость, окончательный же шаг должен состоять в том, чтоб преодолеть так же их необходимость, т.е. постичь их не как внешне навязанную форму мышления, а как его собственную сущность. ПАРАДОКСАЛЬНОСТЬ должна быть, в конце концов, преодолена.
Вернемся на шаг назад. Зенон говорит: расстояние между Ахиллесом и черепахой = S, которое никогда не может быть = 0. Причем заметьте, каким образом он придает убедительность своему утверждению. Если бы он просто сказал, что S = 10 метров и Ахиллесу этого расстояния никогда не преодолеть, то его бы просто не поняли, парадокса бы не вышло. (Как не преодолеть?, почему не преодолеть? и т.п.) Он заставляет нас дробить S, непрерывно уменьшая его, и вот здесь то и обнаруживается, что эту операцию можно производить бесконечно и т.д. и т.п., со всеми выводами не в пользу Ахиллеса. Но, как мы уже говорили, часть S непрерывно становится меньше и продолжает существовать только потому, что другая часть непрерывно превращается в 0. Таким образом, Зенон оперирует двумя положениями S=0 и S не = 0, ПООЧЕРЕДНО пускает их в ход. Если же вглядеться в дело внимательнее, то мы должны говорить не об очередности этих понятий, а об их ОДНОВРЕМЕННОСТИ, т.е. расстояние S мыслится ОДНОВРЕМЕННО и существующим, и несуществующим. Ведь дело же не обстоит так, что СНАЧАЛА S каким то образом распадается на части, ПОТОМ одна часть S обращается в 0, и уж ПОТОМ только другая часть уменьшается, нет, и то, и другое, и третье происходит ОДНОВРЕМЕННО. В ИТОГЕ получается, что одна часть S существует, а другая обнуляется. Однако ДО ТОГО, как этот итог достигнут, S существует как нечто непрерывное и тождественное себе во всех точках или частях. Поэтому если мы мысленно обнуляем любую его часть, это то же самое, как если бы обнулили все S. В НАЧАЛЕ S мыслится как некий отрезок, в конце он мыслится как два отрезка, один из которых = 0. Оба эти момента рассудку ПОНЯТНЫ. Однако суть дела не в них, а в том, что МЕЖДУ НИМИ - в самом этом переходе от первого состояния к последнему. И вот в момент этого то перехода S неизбежно мыслится одновременно и как =0 и как не=0. Таким образом, сколь бы рассудок не убеждал себя, что невозможно мыслить S одновременно = и не = 0, тем не менее мы мыслим именно это. Две мысли оказываются ОДНОЙ И ТОЙ ЖЕ мыслью.
Итак. Величина S и ЕСТЬ и НЕ ЕСТЬ; как сущее она исчезает, как не сущее она возникает; она есть ПРОТИВОРЕЧИЕ. Следовательно, она не может мыслится как равная самой себе. Мы должны отбросить закон тожества S=S. S всегда есть S и в то же время нечто другое, нежели S. Иначе говоря, S=S и одновременно S НЕ РАВНО S – только ТАК S можно мыслить.
В первом приближении это означает, что протяженность НЕВОЗМОЖНО мыслить неизменной: она непрерывно изменяется и ее можно мыслить только лишь как нечто изменяющееся. Таким образом, неверно, что движение немыслимо, наоборот, ТОЛЬКО ДВИЖЕНИЕ и мыслимо; это именно покой немыслим. «Чистое бытие не есть движение, оно наоборот, есть ничто движения», - говорит Зенон. Наоборот, бытие и есть движение и нечего сверх или помимо движения. Ахиллес не может догнать черепаху, говорит Зенон. Я же утверждаю, что Ахиллес «догоняет» ее, даже если стоит на месте. Или более корректно: расстояние между ними непрерывно изменяется (увеличивается, сокращается, исчезает, возникает вновь) даже и в том случае, если оба «неподвижны». Впрочем, даже с точки зрения обыденного сознания особого парадокса в этом нет, ибо всем понятно, что расстояние между любыми двумя ФИЗИЧЕСКИМИ точками всегда и непрерывно изменяется в силу разного рода физических колебаний. Суть, однако, в том, что даже если устранить физические колебания и отклонения, даже сугубо абстрактно, НЕВОЗМОЖНО мыслить S=S. Формальная логика есть нечто наиболее далекое от истины, ЛОЖНОЕ, НЕМЫСЛИМОЕ.
Таким образом, от арифметического представления о протяженности как о чем-то неизменном, фиксированном, ТОЛЬКО конечном, что выражается равенством S=S, мы пришли к понятию S как величины непрерывно изменяющейся, более того, СУТЬ ее и состоит в изменении. Но это значит, что равенство S=х и верно, и не верно, точнее, х есть МГНОВЕННОЕ значение S, в любое другое мгновение величина S становится ДРУГОЙ. Непрерывное изменение величины S можно мыслить опять таки арифметически и в этом случае мы получим непрерывный ряд значений S=х1, S=х2, S=х3 и т.д. Но если S не существует «как такового», если оно «растягивается» в ряд x1, x2, x3 и т.д., если оно мыслимо ТОЛЬКО как такой ряд, то мы тем самым, кроме трех пространственных измерений получаем еще и четвертое – ВРЕМЯ, а x1, x2, x3 и т.д. непосредственно есть моменты времени и образуют шкалу времени.
Здесь необходимо еще раз отдать должное глубокомыслию Зенона, отметив, что и эта мысль о необходимой связи пространства и времени так же содержится в его парадоксе. Если оставить в стороне время и сказать, что Ахиллес не догонит черепаху потому что расстояние между ними можно делить до бесконечности, то парадокс и в этом случае останется, но утратит свою силу и убедительность, НЕОБХОДИМОСТЬ, так сказать. Потому что операция деления до бесконечности как таковая носит характер умозрительного произвола, от которого можно столь же произвольно отмахнуться. Поэтому Зенон рассуждает иначе, он привносит время: именно, за время пока Ахиллес достигает черепахи, последняя перемещается на кое-то расстояние и т.д. до бесконечности – он ТАКИМ способом вовлекает нас в бесконечный счет. Он вводит нашу мысль в пространственно временные тиски: S1-t1-S2-t2… и т.д. Мы не можем остановиться ни на каком шаге, ибо каждый шаг в пространстве необходимо связывается и соответствующим периодом времени, и наоборот, и мы обречены бесконечно переходить от пространства к времени и обратно, подчиняясь этой их необходимой связи и одновременно выражая ее самим этим движением мысли…
Далее. Достаточно «помыслить» геометрическую картинку как нечто неподвижное и время становится чем-то посторонним, несущественным. – Так и мыслит время рассудок, т.е. мыслит его как нечто такое, от чего можно абстрагироваться. Теперь, если мы пришли к убеждению о немыслимости неподвижной протяженности, если протяженность может существовать и быть мыслима ТОЛЬКО как нечто изменяющееся, то тем самым мы пришли к идее, что эта протяженность может быть мыслима ТОЛЬКО в связи со временем, т.е. к идее о необходимой связи пространства и времени. – И что же мы получаем, собственно говоря?
Если расстояние между любыми точками - нечто непрерывно изменяющееся, то первый вывод, который отсюда следует – тот, что сами эти точки, вернее говоря, математическую точку вообще, невозможно мыслить «математически точно» - как нечто «фиксированное», «неподвижное», «статическое». Местоположение точки непрерывно изменяется: в данный момент точка «здесь», в следующий момент она «там». Но это значит, что мы мыслим уже не точку, а некую область пространства; точка обретает объем, который можно разделить на части или составить из частей, причем контуры, форму этого объема опять таки нельзя определить «математически точно». – Что же это такое? Ничто иное, как вещество, вернее, один из атрибутов вещества – занимаемое им МЕСТО в пространстве.
Далее. Если протяженность S – величина определенная в каждый момент времени, если она может быть такой-то или такой ТОЛЬКО в строго определенный момент времени, то мы уже не можем сказать, как это сплошь и рядом говорят математики: допустим, что S=х, а потом, в каком то другом контексте: допустим S=10х, или 100х, или 0,1у или т.п. Всякому S соответствует строго определенный момент времени, всякому изменению S – промежуток времени, т.е. расстояние между вещественными точками не может изменяться мгновенно. Иначе говоря, S – это такая протяженность, которая немыслима вне времени, или это время, которое немыслимо вне пространства; это нечто такое, что мыслится как противоположность абстрактным, рассудочным представлениям о пространстве и времени, это - конкретная связь, единство пространства и времени – это ничто иное, как другой атрибут вещества ИНЕРТНОСТЬ или МАССА…
На этом, однако, остановимся; я не намерен по поводу подвигов Ахиллеса излагать здесь целую натурфилософию, я лишь пытаюсь намекнуть н главную мысль: разворачивая шаг за шагом диалектику бытия и небытия, мы можем вывести, дедуцировать все атрибуты реального мира.
Пространство и время, как их мыслит рассудок, являются абстракциями действительности. На этих понятиях рассудок ЗАКАНЧИВАЕТ свою абстрагирующую деятельность, ибо дальше двигаться уже некуда. Напротив, с той точки зрения, которую я сейчас пытаюсь сформулировать, эти абстракции, - только НАЧАЛО движения, начало абстрагирования, причем мыслительный процесс развивается в направлении, противоположном рассудочному абстрагированию. Но если мышление начинает мыслить нечто ПРОТИВОПОЛОЖНОЕ абстракциям рассудка, если оно абстрагируется от собственной абстрагирующей силы, отрицает самое себя, то тем самым оно становится ТОЖДЕСТВЕННЫМ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТИ, сливается с нею и тем самым достигается адекватное ПОНЯТИЕ действительности. Логическая, умозрительная необходимость шаг за шагом РЕАЛИЗУЕТСЯ, становится синонимом действительности. Абстрактное мышление становится КОНКРЕТНЫМ. ТАКИМ ОБРАЗОМ достигается абсолютная истина.
…Рассудок берет мир во всей его сложности и разнообразии и сводит потом к двум простейшим противоположностям: качество и количество, форма и содержание, пространство и время, бытие и небытие. На этом этапе, поскольку от всего конкретного содержания абстрагировались, казалось бы, достигаются простейшие бесспорные понятия и их отношения – истина в самом простом абстрактном виде. Однако здесь то как раз рассудок и стакивается с противоречиями, на которые указывает Зенон и которые превращают в бессмыслицу и сами понятия рассудка и весь предыдущий процесс абстрагирования, возникает кризис познания. Субъективизм и позитивизм спешат на помощь рассудку и предлагают свой выход из положения – никаких де пространства и времени объективно, «как таковых» не существует и т.д. и т.п. Спрашивается, однако, а что же тогда существует? В смысле: если мы отбрасываем рассудочные понятия и соответствующую логику, то что же тогда остается в голове? Ничего, - как-то даже радостно отвечают позитивисты, - ничего не остается, да ничего и не надо. Достаточно де зафиксировать тот факт, что Ахиллес догоняет-таки черепаху, и на этом успокоиться, никакой метафизики и не надо. Раз мышление приводит к парадоксам, то нужно отказаться от мышления, «для счастья» достаточно одних фактов. – Именно такого рода ответ на вопрос и предложил Диоген: не сумев опровергнуть сторонников Зенона логическими доводами, он принялся РАСХАЖИВАТЬ перед ними, демонстрируя таким образом «личным примером» факт реальности движения. Однако тот же Диоген и столь же доходчиво показал чего стоит эта пустоголовая философия: одного из своих учеников, который вообразил, что ФАКТ движения опровергает Зенона или делает его философию не нужной, он поколотил палкой.
С другой стороны, в наше время любой школьник может поразглагольствовать о «диалектическом единстве» пространства и времени. Действительная трудность, однако, в том, как, исходя из этого «единства», понять реальный мир. И здесь необходимо, прежде всего, понять всю сложность и своеобразие этой задачи. Если рассудок сводит мир к немногим простейшим идеям, то в данном случае стоит противоположная задача: вывести мир из идей. В первом случае идея есть лишь отражение действительности, во втором - действительность становится воплощением идеи. Первый процесс выражает сущность естествознания, второй - философии. В первом случае отталкиваясь от опыта, посредством индукции мы приходим к абстрактным понятиям, во втором – реальные явления дедуцируются из абстрактных понятий. В первом случае рассудок наталкивается на противоречие, в коем видит признак неистинности; для философа же противоречие, как сказал Гегель, есть критерий истины, а в конечном итоге – абсолютна истина. И при этом рассудок, а значит естествознание, всегда приходит к тому же, что и философия, но приходит задним числом и притом так, что дистанция между ним и философией не сокращается, а скорее увеличивается.
В самом деле. Вернемся еще раз к нашей задаче. До, тех пор, пока мы мыслили «арифметически», мы не могли соединить противоположные мысли, что S равно и не равно 0. Однако не могли и разъединить их; от одного переходили к другому, но для того лишь, чтоб вернуться обратно и потом воспроизводить это движение вновь и вновь. S=0 и Sне=0 есть лишь крайние точки между которыми «шарахалась» наша мысль; в сущности мы не можем мыслить, т.е. не в состоянии зафиксировать мысль ни на одном из этих положений без того, чтоб ту же явно или не явно не присутствовало противоположное положение. Любое из этих положений имеет смысл лишь в ОТНОШЕНИИ к другому, следовательно вот это-то ОТНОШЕНИЕ и есть этот самый вечно искомый СМЫСЛ или ИСТИНА. Рассудок всегда верен ей, вся его логика строится в соответствие с ней, но в то же время он следует ей как животные следуют инстинкту – СЛЕПО, неосознанно. Одно равно нулю, другое не равно нулю – вот мудрость рассудка, но то, что эти ТО и ДРУГОЕ суть ОДНО И ТО ЖЕ – постичь это уже не хватает его мудрости. Между тем, ТО и ДРУГОЕ различны вовсе не потому, что ДЕЙСТВИТЕЛЬНО различны, а потому что рассудок не может мыслить противоречие, потому что не может связать противоположные утверждения с ОДНИМ И ТЕМ ЖЕ… НО ОН НЕ МОЖЕТ И УКЛОНИТЬСЯ ОТ ЭТОГО. Поэтому он разделяет одно и тоже на ДВЕ «разных» части, и по отношению к одной из них утверждает одно, по отношению же к другой – противоположное. А если нельзя разделить, то он начинает смотреть «с разных сторон», дескать, с одной стороны верно то, с другой – противоположное. Таким способом, т.е. разделяя единое, отделяя себя от самого себя, он приходит в СОГЛАСИЕ с собой. Таким образом, противоречие составляет его внутреннюю сущность, что не мешает ему прилагать все силы к тому, чтоб избавиться от всех противоречий. И ему это удается, но опять таки посредством противоречия.
Выше я говорил, что в арифметике, например, для того, чтоб из 5 (4+1) получилось 4, необходимо, чтобы 1 «обнулилась». РАССУДИТЕЛЬНЫЙ человек, осведомленный в таблице умножения, обязан возмутиться этими моими рассуждениями: никаких де исчезновений, «превращений» и «обнулений» в моем примере, как и вообще в таблице умножения, нет и быть не может. В арифметике, как и в физике, должен существовать закон сохранения – сохранения величины или количества. Если, например, мы из 5 вычитаем 1 и получаем 4, то вычтенная единица никуда не исчезает, не обращается в ноль, она лишь остается где-то в стороне, за пределами равенства. Так например, из корзины с 5 яблоками мы извлекаем одно из них и ПРЯЧЕМ ЕГО В КАРМАН; в корзине ТАКИМ ОБРАЗОМ остаются 4 яблока. Так что никаких сложностей, тем более чудес, в арифметике нет. Та же самая операция происходит и в случае с Ахиллесом и черепахой - по отношению к S – расстоянию между ними. Положим, S=S0+S1. Положим далее, что S уменьшается до S1, при этом ясно, что S1=S-S0. Спрашивается, что же происходит с S0? «Ясно», что S0 никуда не «девается», оно остается, как и в случае с яблоками «за пределами» равенства, т.е. за спиной Ахиллеса, в данном случае…
И тем не менее яблока НЕТ в корзине, оно ЕСТЬ в другом месте – в кармане. S0 НЕ СУЩЕСТВУЕТ между Ахиллесом и черепахой, оно СУЩЕСТВУЕТ позади Ахиллеса. Никакого превращения бытия в небытие не происходит… и тем не менее происходит ИМЕННО ЭТО. Бытие и небытие понимаются рассудком как нечто предельное внешнее по отношению к яблоку или отрезку пути, как местоположение этих вещей относительно других вещей (корзины, Ахиллеса и т.д.) То есть бытие и небытие в данном случае – нечто такое, что НЕ КАСАЕТСЯ, так сказать, действительного бытия или небытия вещей. Поэтому и соответствующая диалектика эта реализуется просто, бессознательно, так несущественное видоизменение: яблоко переносится с места на место, расстояние преодолевается и т.п. – рассудительный человек недоумевает, что тут может быть непонятного. Однако следует иметь в виду, что именно внешним, иногда даже самым внешним отношением ИСЧЕРПЫВАЕТСЯ ВСЕ бытие вещей. Мне нет никакого дела до расстояния в 100 метров вообще, как некой геометрической протяженности, но мне есть дело до того расстояния в 100 метров, которое меня отделяет от желанной цели и которое я изо всех сил пытаюсь преодолеть. И если я преодолеваю это расстояние, то оно перестает существовать, обращается в нуль, исчезает именно как расстояние между мной и моей целью, а то что оно продолжает существовать где-то за моей спиной, в ином смысле и качестве, то это меня не интересует, как и раньше не интересовало. Равным образом меня не интересует яблоко в чужой корзине или чужом кармане, меня интересует лишь те яблоки, что в моей корзине и т.п.. То есть стоит лишь принять во внимание, что отношение к внешнему может заходить весьма далеко в глубь вещей, как «скользящая» диалектика рассудка опасно углубляется и становится камнем преткновения для самого рассудка.
Пока речь идет о яблоках или реальных расстояниях, рассудку легко возмутиться и ответить: яблоки де не исчезают, а лишь перемещаются (из корзины в карман) и т.п. Но как раз в геометрии, в математике вообще – высшем творении рассудка - этой возможности уже нет, ведь как раз в математике формальное бытие вещей исчерпывает все их содержание, все их бытие. Если S – расстояние между двумя точками, то куда оно исчезает, когда эти точки совпадают? Представим два отрезка на одной прямой АВ и ВС. Допустим точка В перемещается от А к С. Что происходит с отрезками АВ и ВС? АВ увеличивается, ВС – уменьшается. Но КАК это происходит? С точки зрения геометрии совершенно неуместно говорить, что части ВС каким то образом отделяются от ВС и присоединяются к АВ и ТАКИМ образом первый уменьшается, второй увеличивается – математике глубоко чужды подобные представления. Мы поэтому оказываемся вынужденными сказать, что ВС непрерывно ПРЕВРАЩАЕТСЯ в АВ, т.е. некоторая часть ВС непрерывно исчезает как часть ВС и возникает как часть АВ – диалектика бытия и небытия в явном виде и, тем не менее, она и в данном случае не сознается рассудком. Далее, если мы возьмем просто две точки, то когда они совпадают, расстояние между ними «обнуляется», обращается в ничто, - здесь уже и вовсе нет никакой возможности для представления о сохранении величины отрезка – он просто исчезает и возникает, возникает и исчезает - мы легко можем его мыслить как существующим, так и несуществующим. Но откуда эта легкость в математике, если главный ее закон: вещь либо есть либо ее нет? Когда математики говорят х=А, а потом в другом контексте х=0, то подобный переход должен был бы ими восприниматься, ощущаться самым болезненным образом, - как заноза в интимном месте. Не какие то заумные представления современной физики, а то, как величина может изменяться; почему, например, сложив 1 и 1 мы получаем не две единицы, а двойку, т.е. не две величины, а единую непрерывную величину – вот понятия, которые действительно НЕПОСТИЖИМЫ с точки зрения рассудка. Между тем как раз здесь то для рассудка «нет проблем», как раз все это есть с его точки зрения самое что ни на есть простое. Собственно говоря, даже и потребности в каком-то «понимании» рассудок здесь не чувствует, в чем нельзя не видеть последнюю степень его САМООТЧУЖДЕННОСТИ. Ему наиболее понятно то, что в наибольшей степени противоречит ему. Как бы одним прыжком он преодолевает абсолютный разрыв с самим собой и приходит к согласию с собой, столь же абсолютному.
Правда эта гармония продолжается не вечно: настает момент и рассудок оказывается вынужденным ввести понятие бесконечно малой величины – величины СУЩЕСТВУЮЩЕЙ в своем ИСЧЕЗНОВЕНИИ, т.е. величины, которая и есть, и не есть. Таким образом, рассудок как будто добирается, наконец, до диалектики бытия и небытия, но добирается как то подозрительно: не столько «добирается», сколько «перескакивает» ее: именно, понятие бесконечно малой величины берется неизвестно откуда и нам предлагают НАЧАТЬ с него, в то время как им следовало бы ЗАКОНЧИТЬ. То есть опять таки главный переход – диалектика бытия и небытия, преодолевается одним прыжком и задним числом. Результат этого прыжка - формальное определение бесконечно малой – преподносят нам как нечто готовое, что осталось только заучить, между тем как САМ прыжок, САМ переход от формального противопоставления бытия и небытия к их «неформальному» синтезу – вот суть дела, вот что единственно заслуживает внимания…
Выше я пожалуй ошибся, когда назвал парадокс Зенона софизмом. Это не софизм, это ни что иное, как анатомия рассудка, демонстрирующая нам всю глубину его противоположности самому себе. В преодолении этого противоречия и состоит ВСЕ бытие рассудка. В самом первоначальном моменте – на уровне первых логических и математических аксиом - рассудок, как мы видели, абсолютно противоречит себе и именно в этот момент пребывает с собой в абсолютном согласии – это его «интересное» состояние и вскрывает Зенон своими апориями. Затем рассудок, так сказать, разражается этим своим внутренним противоречием и пускается в комбинаторику противоположностей. Тем самым он сознает противоречие и одновременно разрешает его – таким способом рассудок выстраивает формальную логику – руководящую нить своей науки. Однако на вершине науки, в каких ни будь математических или физических дебрях, рассудок «вдруг» обнаруживает некие глобальные противоречия (понятие бесконечности, напр., и др.), которые только здесь начинают им сознаваться и тем самым дальнейшее движение прекращается, наука заходит в тупик, начинаются «разброд и шатания» в позитивистском и субъективистском духе. Между тем здесь, в конце своего пути, рассудок обнаруживает лишь то, что имелось и в начале, и в середине пути, что пронизывает все его бытие.
Таким образом, суть рассудочного способа мышления – это самообман или лучше сказать самоневедение. Ахиллес у Зенона не может преодолеть dS впереди себя и не замечает, что «такое же» dS он непрерывно оставляет позади себя, т.е. преодолевает. За его спиной dS всегда =0, впереди его dS - то самое, которое отделяет его от черепахи - всегда не=0. Последнее как бы воспроизводится за счет первого. На каждом шаге dS впереди обнаруживается как нечто сущее, однако сам этот шаг производится именно потому, что dS позади утрачивает существование. Разум утверждает то, что тут же отрицает, т.е. он утверждает посредством этого отрицания. Разум разъединен сам с собой: шарахается от себя как от другого и не приходит к себе, т.е. не сознает себя, но едва ли не стихийно, случайно НАТАЛКИВАЕТСЯ на себя, но опять-таки как на нечто чуждое себе. Его бытие – это непрерывное самоотрицание. Но посредством этого самоотрицания он лишь ПОВТОРЯЕТ себя. Он сохраняет себя за счет того лишь, что инстинктивно цепляется за себя: бессознательно цепляется за те моменты своей мысли, которые сознательно отрицает. Следовательно, выход из этого положения может состоять в том, что собственное бытие разума должно быть им ОСОЗНАНО – осознано то, что, мысля противоположности, он мыслит одно и тоже; что противоречие, которое он стихийно отслеживает, развивает, постигает, есть не объект познания, не какая то там «противоречивая действительность» а прежде всего его собственная сущность, его БЫТИЕ - то, что не нужно доказывать, объяснять и т.п., то, что первичнее всего, – то, в чем он обретает себя, собственную действительность и ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТЬ В СЕБЕ. То есть как раз на этой точке своей эволюции мышление становится тождественным бытию: вне мышления нет ничего, чего не было бы в нем. Ему становится ВСЕ понятно, он видит все в себе и себя во всем, действительность раскрывается как его собственное инобытие.
Итак, все это движение, дурная бесконечность, в которой вязнет Ахиллес, есть всего лишь воспроизведение мышлением одной и той же мысли, воспроизведение СЕБЯ САМОГО, как собственной противоположности. Мышление здесь разорвано с самими собой и, соответственно, стремится восстановить это единство с собой; и оно его восстанавливает, однако так, что вновь оказывается, так сказать, позади себя, т.е. вновь утрачивает себя из виду, и потому обречено проделывать это тавтологическое движение вновь и вновь «до бесконечности». Но коль скоро эта самоотчужденность сознается, то тем самым она и самоликвидируется. Тавтология, в которой мышление непрерывно исчезало, превращается в самосозерцание, в котором оно непрерывно возникает, обнаруживает, обретает себя. Абсолютная замкнутость, чистое для себя бытие, созерцание себя как существующего, - и в то же время все существование мышления состоит в этом лишь созерцании себя – ЭТО И ЕСТЬ истина. Это уже не мысль о чем-то. Здесь постигается «физический смысл» слова «бытие». Мышление становится тождественным бытию (как в физике человек мысленно воспроизводит некий процесс и безо всяких формул ВИДИТ что в нем происходит, что может, чего не может происходить.) В первом случае, в фазе рассудка, мышление непрерывно разворачивается в нечто внешнее, в форму, во втором, оно концентрируется, сворачивается в точку – внутреннее. Первое есть бытие по форме, второе - бытие по содержанию. В первом случае мышление непрерывно утрачивает себя, во втором – непрерывно обнаруживает себя. Последнее есть абсолютная истина, первое – абсолютная ложь.
7. Назад к Канту. (Абсолютная ложь)
Однако, даже прибывая на самом острие диалектики, не следует забывать о… диалектике. Если абсолютная истина и абсолютная ложь оказались у нас в столь абсолютном единстве, то, стало быть, каждое из них есть собственная «абсолютная» противоположность.
Вновь обратимся к простейшему. То, что два физических тела, например, Ахиллес и черепаха, суть РАЗНОЕ – это понятно. То есть множественность тел – это понятно. Но как мыслить множественность математических точек? Почему их много? Почему они вне друг друга? Откуда эта внеположенность? Мы мыслим «здесь» - одну точку, а «там» - другую, но точка в обоих случаях мыслится нами одинаково, это одна и та же мысль, т.е. мы мыслим одно и то же. Почему же это одно и то же у нас удваивается? Это противоречие. Различие должно быть ликвидировано. Одно и тоже не должно удваиваться, не должно становиться разным – это и есть первое требование формальной логики. Ликвидируем это различие и что же получим? Опять различие, но уже в форме времени: вот эта точка в данный момент времени, затем в следующий и т.п. То есть «одно и то же» у нас опять «плодится», но уже во времени, КАК время. Допустим, мы ликвидируем и эту двойственность (точнее множественность), тогда получится, что пространство не может «содержать» более одной точки, тогда точка «взрывается» и становится пространством, пространство, наоборот, «проваливается» в точку. - Нечто проваливающееся само в себя, и одновременно выворачивающееся наизнанку – чистое движение. - Бытие мышления, когда все содержание состоит в мышлении собственного бытия. – Вот это и есть альфа и омега, начало и источник всякого разумного понятия, это-то и есть истина в последней инстанции… Если бы не одно «но»: она недостижима, а если и достижима, то… невыносима.
Вся сила мысли направлена в этом случае на то, чтоб удержать различие, ОТНОШЕНИЕ, иначе мышление немедленно угаснет (ибо только это отношение и мыслится); с другой же стороны, это-то – т.е. различие, отношение – удержать как раз и невозможно. В самом деле, отношение между ЧЕМ и ЧЕМ? Во всех моментах мышление, тождественное себе остается собой, во всех - сознает себя, во всех оно – одно и тоже и сознает свою самотождественность. Но именно поэтому действительное отношение, а значит и мышление, невозможно, оно должно угаснуть. И оно необходимо угасает. Абсолютная истина - хорошее снотворное, а в больших дозах – смертельный яд.
Поэтому если мышление все таки есть, или пока оно есть, его бытие становится не блаженством в этой «истине», а МУКОЙ - потребностью избавиться от нее (от истины), потребностью ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО отношения к ЧЕМУ-ТО, потребностью этого ЧЕГО-ТО – то есть ничем иным, как потребностью формы, самоотчуждения. Причем самоотчуждения не как некой логической комбинации, т.е. чего то такого, что СОЗНАЕТСЯ, в чем отдается отчет, но самоотчуждения НАСТОЯЩЕГО, т.е. НЕБЫТИЯ, абсолютного самозабвения. Оно должно утратить себя, с тем, чтоб немедленно натолкнуться на себя как на внешнюю непроницаемую стену, - натолкнуться, и тем самым пробудиться, обрести действительное бытие. Но как только пробуждение состоялось, собственное бытие зафиксировано, так немедленно возникают Я и не-Я, ТО и ДРУГОЕ и т.д.; ЕСТЬ и НЕ ЕСТЬ отделяются друг от друга, возникает дуализм, пространство и время, внеположенность, ФОРМА. Разум начинает сознавать себя именно посредством того, что погружается в неведение относительно самого себя. Его собственный потенциал предстает перед ним как беспредельная мощь Вселенной, его собственная форма - как то, что он еще должен познать. Вся ЕГО реальность – впереди его – как то, что он еще должен обрести.
Однако обрести реальность – это в данном случае значит: довести состояние самоотчужденности до предела, до абсолюта. Поэтому разум провозглашает тезис о невозможности познания, непостижимости сущего. Но КАК это провозглашается? ЛУКАВО. Он, видите ли, усматривает ДУАЛИЗМ между Я и не-Я, т.е. ставит в один ряд, на одну доску СЕБЯ и ВСЕЛЕННУЮ. Как это часто бывает, смирение оказывается лишь формой гордыни, видимая капитуляция перед бытием – фактической узурпацией бытия, абсолютное самоотрицание – способом абсолютного самоутверждения.
Однако, подлинное величие являет себя скорее в малом, чем в большом. Действительной бодрости духа человек достигает не тогда, когда созерцает звездное небо и пытается постичь гармонию космоса, а тогда, когда усомнится догонит ли Ахиллес черепаху – вот высшая точка интеллектуального пробуждения. Самое простое и очевидное должно стать непонятным – это и значит, что дуализм между духом и материей действительно «имеет место», причем дуализм бесконечный. Однако это означает так же, что состояние самопотерянности, самоотчужденности, т.е. абсолютная ложь в отношении себя самого оказывается высшим проявлением жизни духа, порождает абсолютную напряженность этой жизни. Дух ЕСТЬ как раз в тот самый момент, когда он НЕ ЕСТЬ и ПОТОМУ ЧТО не есть. Он ЕСТЬ и НЕ ЕСТЬ. Его бытие есть движение к себе, однако, в той мере, в какой он приближается к себе, он удаляется от себя. Он есть нечто неуловимое для себя самого. Он гонится за собой, как Ахиллес за черепахой – и не может догнать, даром, что несомненно догоняет…
Парадоксальность, таким образом, вовсе не есть нечто такое, от чего можно и должно избавиться; она есть сущность как мышления, так и бытия. Парадокс - не скорлупа, которая обременяет разум, а его собственное нутро, которое в парадоксальности бытия обретает гармонию и свободу. Мышление освобождается от парадоксальности именно тем, что постигает ее как собственную сущность. Задача, поставленная выше, стало быть, решена… парадоксальным образом.
13.12.05
Курган
Господину Иванову, своими бесконечными придирками доведшему меня до легкого нервного истощения и прозрений, изложенных ниже – ПОСВЯЩАЕТСЯ.
… Стоит набрать в любом поисковике фразу «Ахиллес и черепаха» или ей аналогичную и интернет выдаст с десяток, если не больше сайтов, в которых «легко», посредством простейших математических приемов решаются пресловутые апории Зенона, доставившие не мало головной боли философам. И не просто решаются; решения сопровождаются яркими оценками «донаучного мышления», едва ли не слабоумия древних греков вообще и Зенона в особенности. Еще более, конечно, достается нынешним «слабоумным», которые продолжают ломать голову над апориями Зенона, вместо того, чтоб выучить школьный учебник математики, где «все написано» и все давно решено. Ниже я попытаюсь доказать, что те «математики», кто подобным образом, т.е. «математически» пытаются решать философские проблемы ничего не смыслят ни в философии, ни в математике.
Еще когда я был школьником, меня приводил в некоторое недоумение один математический прием. Положим нужно найти предел Lim (x-2)/(x-4), если x стремится к 6. Решается эта задача просто: ПОДСТАВЛЯЕМ 6 в выражение (x-2)/(x-4) и получаем результат = 2… То есть, сначала нам долго объясняли, что предел – это такая величина, к которой x неограниченно приближается, НИКОГДА ЕЕ НЕ ДОСТИГАЯ, но потом когда нужно решить задачу вроде предложенной только что, предел x (6 в данном случае), не мудрствуя лукаво подставляют в соответствующее выражение так, как будто он ДОСТИГНУТ - и задача решена. Спрашивается, зачем же были нужны все эти разъяснения насчет предела, само это понятие, если все дело сводится, в конце концов, к арифметике? Ну, подставьте вы нужную цифру в уравнение, получите «желанный» результат и «успокойтесь», для чего нужны эти ритуальные фразы насчет того, что что-то там к чему-то стремится?… Хотел бы, чтобы меня здесь поняли правильно; я рассуждаю почти как Жванецкий: «Дело уже не в очках, скажите только, они есть или их нет?» Я не пытаюсь спорить с учебником математики, не ставлю под сомнение «правильность» упомянутых «ритуальных фраз», объясните только, ЗАЧЕМ они придуманы? Ответа на этот вопрос я так и не нашел ни в одном учебнике, мои же собственные соображения изложу ниже.
Следуем далее. В приведенном выше примере, по крайней мере, арифметически все понятно и безукоризненно. Но возьмем предел последовательности Lim1/n при n, стремящемся к бесконечности. Бесконечность мы уже не можем куда-то «подставить» и производить с ней арифметические действия, как в предыдущем примере. Как же нам найти указанный предел? Интуитивно ясно, что он равен 0, ведь чем больше n, тем 1/n меньше, ближе к нулю, но как это формально доказать? Здесь на помощь приходит формальное определение предела:
«… Число А называется пределом… Х, если для каждого наперед заданного произвольно малого числа Е можно указать такое значение Х, что все последующие значения переменной будут удовлетворять неравенству (Х-А)<Е.»
Мы не можем оперировать с бесконечностью «как таковой», в этом и состоит ее «особенность», но мы можем продвигаться в направлении бесконечности до любой наперед заданной границы Е. Бесконечность как таковая остается по ту сторону этой границы, но по эту сторону – всегда определенные величины, с которыми можем производить любые действия. Бесконечность всегда остается недостижимой, но границу Е мы можем продвигать сколь угодно далеко и таким образом свести бесконечность к бесконечно малой величине, которой МОЖНО ПРЕНЕБРЕЧЬ и таким образом – И ТОЛЬКО ТАКИМ – бесконечность можно преодолеть. Все последующее имеет своей целью разъяснение этой, в общем то, простейшей мысли.
Прежде всего, необходимо уточнить или дополнить или, лучше сказать симметрично достроить приведенное только что определение предела. А именно: для любого, наперед заданного значения переменной Х, стремящейся к переделу А, можно указать такое число R, что будет соблюдаться неравенство (A-X)>R. В чем смысл этого дополнения или уточнения? Если определение предела говорит, что X стремится к A, то указанное дополнение, подчеркивает, что X стремится, но НЕ ДОСТИГАЕТ A; понятие предела говорит, что разность между A и X сколь угодно мала, исчезающе мала, дополнение корректирует: мала, сколь угодно мала, но не исчезает; эта разность ВСЕГДА СУЩЕСТВУЕТ. – Ясно, что это дополнение находится в рамках определения, не привносит никакой «отсебятины», но если определение формально выражает то, что разность между величиной и ее пределом «меньше меньшего», то дополнение формально выражает то, что эта разность больше нуля.
Если теперь вспомнить об апориях Зенона, то не трудно увидеть, что определение предела вместе с указанным дополнением полностью воспроизводят логику Зенона, в частности логику апории об Ахиллесе и черепахе. Ахиллес делает шаг, черепаха – ½ шага, Ахиллес – ½ шага, черепаха – ¼ шага и т.п. Иначе говоря, Ахиллес проходит любую наперед заданную точку E между ним и черепахой, но черепахи он догнать не может: между ними всегда существует точка R, которой он еще не достиг.
Вот, пожалуй… и все. Сказано выше было мало, нового - и вовсе ничего, тем не менее, сказанного достаточно, чтоб понять чего стоят попытки «математически» решить апории Зенона.
Сначала, за время Т1 Ахиллес у Зенона пробегает первоначальное расстояние между ним и черепахой, затем, за время Т2 – расстояние, на которое черепаха успела сместиться за время Т1 и т.д. Таким образом, время Т, за которое Ахиллес должен догнать черепаху равно: Т=Т1+Т2+…Тn+…= STn, где STn – сумма энного количества Tn при n - к бесконечности. То есть Зенон утверждает не то, что Т =бесконечности. Он представляет Т как сумму бесконечного ряда – бесконечного и ПОТОМУ непреодолимого. Спрашивается, как же «математики» преодолевают эту бесконечность? Опять таки подозрительно просто: они пишут Т= Lim STn при n – к бесконечности – и… ЗАДАЧА РЕШЕНА (по какой именно формуле вычисляется указанный предел – дело десятое)… То есть если Зенон утверждает, что Т=STn, то «математики» - что T=Lim STn. В чем же разница? А разница как раз и равна тому самому, выше введенному R. В некоторых учебниках математики можно прочесть следующее положение, само собой, впрочем, разумеющееся:
«…если Lim f(n)=b, при n-к бесконечности, то выполняется приближенное равенство f(n)~b, причем это приближенное равенство тем точнее, чем больше n.»
Величина R и есть величина соответствующей «погрешности». - Так в чем же разница между Зеноном и «математиками»? В том, что у первого, как уже было сказано T=STn, при этом он мысленно наращивает n, соответственно, R у него стремится к нулю, но ноля никогда не достигает, соответственно T никогда не достигает значения Lim STn, т.е. Ахиллес черепаху не догоняет. В противоположность ему «математики» ПРИРАВНИВАЮТ R К НУЛЮ, преодолевают эту разницу ОДНИМ ПРЫЖКОМ и тем самым Т у них «мгновенно» достигает значения Lim STn, Ахиллес черепаху догоняет.
И вот теперь самый тонкий вопрос: кто же из них прав? Вернее, его следует сформулировать иначе: является ли точка зрения «математиков» решением апории Зенона?
Что такое R? Это просто некоторая протяженность, причем конкретная ее величина безразлична. Следовательно, если мы можем, ИМЕЕМ ПРАВО «обнулить» R, то тогда мы можем «обнулить» ЛЮБУЮ протяженность, в частности, ВСЕ расстояние между Ахиллесом и черепахой. То есть, тогда мы получаем право сказать, что это расстояние может быть равно нулю, а может быть не равно ему. В каком случае (или в какой момент времени) равно, в каком нет – это определяется параметрами движения и это вопрос уже второстепенный. Вообще в этом случае НЕТ никакой специальной философской или математической задачи; в этом случае мы поступаем как все человечество: просто делим расстояние на скорость и таким способом выясняем, кто кого догонит или нет и в какой момент времени. И для того, чтоб проделать эту операцию, нам не нужна высшая математика, и не препятствуют апории Зенона – просто потому, что ни на то, ни на другое мы не обращаем внимания. Решающим, руководящим обстоятельством являются здесь не какие-то теории математические или философские, а САМ ФАКТ движения, САМ ФАКТ того, что Ахиллес черепаху догоняет.
Если же мы не можем обнулить R, то значит, апории Зенона остаются в силе, «математики» их никак не решают, просто они вместе с остальным человечеством «обнуляют» R, как и любую другую величину, когда им «надо» и то, что они проделывают эту операцию на своем математическом уровне и соответствующем языке, ничуть не делает ее более осмысленной и содержательной – это все тот же самый обыденный, эмпирический т.е. бессмысленный взгляд на движение, даром что «ученый».
Но что значит «имеем или не имеем право»? «Право» здесь простое: если протяженность R существует, то непонятно каким образом, в силу чего она может «обнулиться», т.е. перестать существовать? Как перейти от бытия к небытию? Каким образом «вывести» одно из другого, перейти от одного к другому – ведь в этом-то и состоит сущность движения? Вопрос, таким образом, как я и говорил в статье, сводится к известному положению формальной логики: нечто либо есть, либо не есть, третьего не дано, которое, таким образом, ИСКЛЮЧАЕТ движение, делает его НЕПОСТИЖИМЫМ. – Таков самый первоначальный смысл апорий Зенона.
Отсюда ясно, что «математики» не только не отвечают на вопрос Зенона, они даже не понимают его… хотел было сказать: делают ШАГ НАЗАД в сравнении с Зеноном, но вовремя «одумался». Чтобы сделать шаг назад, надо прежде сделать шаг вперед, а этого-то как раз и нет; «математики» не могут, не способны подняться до Зенона, т.е. до того уровня абстракции, на котором этот вопрос только и возникает. Как прилежные ученики они просто отыскивают в учебнике математики готовую формулу, подставляют в нее нужные значения и получают «правильный» результат. Они заучивают математические определения вместо того, чтоб осмыслить их, иначе они бы заметили, что парадокс Зенона содержится и в их «собственном», т.е. математическом понятии предела и потому посредством этого понятия он перефразируется, а не решается. Действительным и притом радикальным «решением» проблемы ДЛЯ НИХ является их слабоумие – в данном случае это объективный диагноз, а не субъективная оценка, - благодаря которому вопроса ДЛЯ НИХ просто НЕ СУЩЕСТВУЕТ, как не существует цвета для слепых. Насчет правильности или неправильности такого решения рассуждать невозможно, но то, что оно СЧАСТЛИВОЕ – это точно.
Но если оставить в стороне «математиков» каков же объективный смысл математического понятия предела в свете вышесказанного?
В первом примере мы отмечали некую двусмысленность данного понятия: сначала говорится, что такая то величина неограниченно приближается к переделу, затем этот предел «ни с того, ни с сего», «внезапно» достигается. При чем в том примере мы легко переходили к переделу чисто арифметическим путем и потому само понятие предела казалось искусственным, а соответствующий прыжок - едва уловимым. Во втором примере (ряд 1/n при n – к бесконечности) перейти к пределу арифметически уже невозможно, здесь уже совершенно очевидно, что указанный переход можно осуществить ТОЛЬКО посредством прыжка и насколько строго и формально дается в этом случае понятие предела, настолько же строго и формально тем самым дается и понятие величины R, которая как раз и преодолевается посредством прыжка. Отсюда ясно, что все эти «прыжки» - не случайность, они необходимо содержатся в понятии предела.
Если Зенон говорит: «либо «да», либо «нет», а что сверх того, то от лукавого», - и потому именно его мысль замирает в неподвижности, - то математика говорит: «и «да», и «нет»», или: «ни «да», ни «нет»», т.е. начинает рассуждать именно «от лукавого». (Если в этом контексте вспомнить о «математиках», то эти - ничего не говорят, так как «ни бэ, ни мэ», т.е. пребывают в счастливом неведении относительно того, о чем идет речь). Любая величина в анализе распадается на две части: одна конченая и делимая, которая всегда существует, другая – бесконечная и неделимая, преодолеваемая одним «прыжком», как если бы она была НИЧЕМ. При этом – и это главное, - ликвидируется формальное противопоставление между той и другой частью, т.е. между «да» и «нет», «есть» и «не есть». Вместо этого противопоставления математика стихийно переходит к диалектике бытия и небытия, причем даже и не переходит, а опять таки ФОРМАЛИЗУЕТ эту диалектику, вводя понятие строго определенной, т.е. формальной, но ПОДВИЖНОЙ границы между бытием и небытием. Величина E и есть эта граница. Эта величина всегда существует, всегда задана и в этом смысле строго определена, но разность между этой величиной и пределом не то что может, но ДОЛЖНА БЫТЬ сколь угодно малой, т.е. ДОЛЖНА неограниченно приближается к пределу, непрерывно скользить из конечной величины в бесконечность, из «бытия» в «небытие». Иначе говоря, эта граница ПРИНЦИПИАЛЬНО ПОДВИЖНА. Таким образом, задается формальное понятие движения, однако опять таки в рамках формальной логики, т.е. получается шаг вперед - шаг назад: насколько достигается совершенство формы, настолько же опустошается содержание понятия движения; форма совершенствуется в ущерб содержанию. Но, как бы там ни было, прогресс бесспорен: если у Зенона движение как бы в принципе невозможно, то в анализе оно задается, причем именно как принцип… Однако, все это уже философия…
